CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
PHƯƠNG PHÁP
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp. (Quyết định sự thành công của bài toán)
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
Các dạng toán thường gặp:
Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, …
Định lượng: Độ dài đoạn thẳng,, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diện tích thiết diện, …
Bài toán cực trị, quỹ tích.
……………
Ta thường gặp các dạng sau
1. Hình chóp tam giác
a. Dạng tam diện vuông
Ví dụ : Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC=
, (a>0) và đường cao OA=
. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.
Cách 1:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó O(0;0;0),

, gọi N là trung điểm của AC (
.
MN là đường trung bình của tam giác ABC ( AB // MN
( AB //(OMN) ( d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)).



, với
.
Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến

Ta có:
. Vậy,

Cách 2:
Gọi N là điểm đối xứng của C qua O.
Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình).
( OM // (ABN)
( d(OM;AB) = d(OM;(ABN)) = d(O;(ABN)).
Dựng

Ta có:





Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:

. Vậy,

b. Dạng khác
Ví dụ 1: Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và
vuông tại C. Độ dài của các cạnh là SA =4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M.
Tính cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng (SHB) và (SBC).
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) và H(1;0;0).
mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy

(1).

,
suy ra:
ptts SB:
, SC:
và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.


= …
Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đó ta không cần phải tìm K.
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của (ABC. Đặt SG = x (x > 0). Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60o.
Cách 1:

Gọi M là trung điểm của BC
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G lên AB, AC. Tứ giác AEGF là hình vuông

Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0),

với
với
Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến
.
Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) bằng 60o.


Vậy,

Cách 2:
Gọi M là trung điểm của BC ABC vuông cân)
Ta có: Suy ra:
Dựng và là góc phẳng nhị diện (B; SA; C).
cân tại I.


Ta có:

Vậy,

Ví dụ 3: (Trích đề thi Đại học khối A