CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC

Cho hàm số
,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
.
( Tính đạo hàm và giá trị
.
( Phương trình tiếp tuyến có dạng:
.

Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm
có hệ số góc
.

Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là
.
( Giải phương trình:
, tìm nghiệm
.
( Phương trình tiếp tuyến dạng:
.

Chú ý: Cho đường thẳng
, khi đó:
( Nếu
( hệ số góc k = a.
( Nếu
( hệ số góc
.

Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
.
( Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó

( Điều kiện tiếp xúc của
là hệ phương trình sau phải có nghiệm:


Tổng quát: Cho hai đường cong
và
. Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm.
.
Cho hàm số

a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến ( của (C):
Tại điểm có hoành độ
.
Tại điểm có tung độ y = 3.
Tiếp tuyến song song với đường thẳng:
.
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
.
Cho hàm số
có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
Tại giao điểm của (C) với trục tung.
Tại giao điểm của (C) với trụng hoành.
Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;(1).
Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = (13.
Cho hàm số
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0.
d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).
Cho hàm số
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b. Chứng minh rằng qua điểm M((3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Cho hàm số:
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm M
(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua M và tâm đối xứng của (C).
Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1
x(x2 + mx + 1) = 0 (*)
Đặt g(x) = x2 + mx + 1 . d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt
g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.

.
Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0
.
Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có:






(nhận so với điều kiện)
Cho hàm số
. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc.

Lời giải:

Gọi M(x0;y0). Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là y = k(x – x0) + y0.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:



d tiếp xúc với (C):


Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với nhau khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:


.
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn:
loại bỏ bốn giao điểm của đường tròn với hai đường tiệm cận.
Cho hàm số
. (ĐH Khối(D 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.