Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số hợp




















































I. ĐỔI BIẾN SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1. Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính
.
Bước 2. Đổi cận:
.
Bước 3.
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
.
Giải
Đặt




.
Vậy
.
Ví dụ 8. Tính tích phân
.
Hướng dẫn:

. Đặt

ĐS:
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
.
Hướng dẫn:
Đặt

ĐS:
.
Ví dụ 10. Tính tích phân
.
Hướng dẫn:
Đặt
; đặt

ĐS:
.
Chú ý:
Phân tích
, rồi đặt
sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính
.
Bước 2. Đổi cận:
.
Bước 3.
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
.
Giải
Đặt





.
Vậy
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
.
Hướng dẫn:
Đặt

ĐS:
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
.
Giải
Đặt




.
Vậy
.
Ví dụ 4. Tính tích phân
.
Hướng dẫn:

.
Đặt

ĐS:
.
Ví dụ 5. Tính tích phân
.
ĐS:
.
Ví dụ 6. Tính tích phân
.
ĐS:
.
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
.
Hướng dẫn:
Đặt

ĐS:
.
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
.
Hướng dẫn:
Đặt

ĐS:
.
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
.
Giải





.
Vậy
.
Ví dụ 14. Tính tích phân
.
Hướng dẫn:
Đặt
.
ĐS:
.
Biểu diễn các hàm số LG theo
:

3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân
.
Giải
Đặt








.
Vậy
.

Tổng quát:

.
Ví dụ 16. Tính tích phân
.
Giải
Đặt





(1).
Mặt khác
(2). Từ (1) và (2) suy ra
.
Tổng quát:

.
Ví dụ 17. Tính tích phân
và
.
Giải

(1).


Đặt
(
(2).
Từ (1) và (2)(
.
Ví dụ 18. Tính tích phân
.
Giải
Đặt




.
Đặt








.
Vậy
.
Ví dụ 19. Tính tích phân
.
Hướng dẫn:
Đặt

ĐS:
.

Tổng quát:
Với
,
, hàm số
chẵn và liên tục trên đoạn
thì

.
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên
và thỏa
.
Tính tích phân
.
Giải
Đặt
,






.
Vậy
.

3.3. Các kết quả cần nhớ
i/ Với
, hàm số
lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
.
ii/ Với
, hàm số
chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
.
iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)

.
Trong đó
n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn:



.
Ví dụ 21.
.
Ví dụ 22.
.

II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Công thức
Cho hai hàm số
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có





.
Công thức:

(1).
Công thức (1) còn được viết dưới dạng:

(2).
2. Phương pháp giải toán
Giả sử cần tính tích phân
ta thực hiện
Cách 1.
Bước 1. Đặt
(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm
và vi phân
không quá phức tạp. Hơn